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2. Funciones complejas

2.1. Funciones complejas de variable compleja

Recordemos que una función real f de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real x D otro número real y = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:

Una función compleja de variable compleja f definida sobre un conjunto D de números complejos es una función que asigna a cada número complejo z D otro número complejo w = f(z) y la representamos con la notación f : D.

El conjunto D se llama, igual que en el caso de las funciones reales, dominio de f. Igualmente, el conjunto de las imágenes de f se llama imagen de f.

Con la calculadora Wiris, disponéis de la instrucción dominio, pero sólo se aplica a funciones reales de variable real. Para funciones complejas deberéis razonarlo en cada caso.

Ejemplo 10

  1. Si se definen las tres funciones complejas f(z) = 3z + 2,g(z) = 2z3 -5z¯,h(z) = 4z2 + iz

    El dominio de cada una de las tres funciones es , el conjunto de todos los números complejos. La figura 9 muestra cómo se pueden definir con la Wiris estas funciones y calcular algunas imágenes.


    Figura 9: Funciones complejas con la Wiris
  2. Consideramos la función compleja f(z) = z + 2i z -2i. Su dominio es todos los números complejos excepto aquellos que anulan el denominador, es decir, los que verifican la ecuación z -2i = 0; por tanto, su dominio es -{2i}.

Dado que z i w = f(z) son de se pueden escribir z = x + yi y w = u + vi (descompuestos en su parte real y su parte imaginaria), podemos dar f así:

w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Por tanto, una función compleja w = f(z) equivale a tener dos funciones reales u(x,y) y v(x,y), donde cada una de ellas depende de dos variables reales x e y.

Ejemplo 11

Considerad las funciones del ejemplo anterior. Buscaremos las funciones u y v para cada una de ellas.

Para visualizar rápidamente la representación de las funcionse complejas con los dos planos superpuestos, con la calculadora Wiris se puede utilizar un color para los valores del dominio y otro para los de la imagen. Ved ejemplos de cómo se puede elaborar el código para hacer la representación superpuesta o en dos ventanas separadas.

La representación gráfica de una función compleja utiliza dos planos complejos, uno para el dominio y otro para la imagen; estos dos planos se pueden representar separados o bien superpuestos (en este último cas, se debe diferenciar de alguna manera el valor del dominio y el de la imagen; por ejemplo, con diferentes colores). Observad la figura 11.


Figura 11: La imagen por una función compleja de un punto y de un segmento

Actividad 7

Considerad las funciones f(z) = (1 + i) .z, g(z) = 3z + 5 z -i y h(z) = 5z + 2i z2 + 1 .

1) Para cada una de ellas, buscad la imagen de los números complejos 1 + i, -3 + 4i, -2 -2i, 4 -3i y representadlos en un gráfico con dos ejes de coordenadas como el que tenéis en la figura 11.

2) Estudiad cuál es el dominio de cada una de las funciones anteriores.

3) Para cada una de las funciones anteriores, estudiad si los números complejos i, -1 + i, -4 son o no del conjunto imagen.