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3.2 Derivación compleja

Se recomienda revisar la derivación de funciones reales en el módulo previo "Derivación".
La derivada de una función compleja f(z) en z0 es, si existe, el límite siguiente: f'(z0) = limzz0 f(z) -f(z0) z -z0 .

Cuando el límite existe se dice que f es derivable o diferenciable en z0.

La derivada, com en el caso real, es el límite de un cociente incremental. Que la función f(z) sea derivable en zo significa que para cualquier trayectoria de aproximación a zo el límite del cociente incremental es siempre un mismo número complejo.

Ejemplo 16

  1. La función f(z) = 2z + 3i es derivable en todo z .
    Si z = x + yi, z0 = x0 + y0i, el cociente incremental es f(z) -f(z0) z -z0 = 2x + (2y + 3)i -2x0 -(2y0 + 3)i x + yi -(x0 + y0i) = 2[(x -x0) + (y -y0)i] (x -x0) + (y -y0)i = 2 .
    Por tanto, limzz0 f(z) -f(z0) z -z0 = 2 para cualquier trayectoria.
  2. La función z no es derivable en ningún punto.
    Si escribimos en forma binaria z = x + yi, f(x + yi) = x -yi y
    z0 = x0 + y0i, el cociente incremental es:
    f(z) -f(z0) z -z0 = x -yi -(x0 -y0i) x + yi -(x0 + y0i) = (x -x0) -(y -y0)i (x -x0) + (y -y0)i

    En este caso el límite limzz0 f(z) -f(z0) z -z0 no existe globalmente, ya que las diferentes trayectorias rectilíneas por las cuales nos podemos acercar a z0 dan valores diferentes para el límite (figura 17).


    Figura 17: Trayectorias rectilineas

    Para la trayectoria t1 el límite es -i porque podemos escribir x = x0 + t, y = y0 + t. Si sustituís veréis que la expresión que nos da el cociente incremental se puede simplificar y se convierte en 1 -i1 + i = -i.
    Para la trayectoria t2, situada en una recta de pendiente -4, podemos escribir x = x0 -t, y = y0 + 4t. Si hacéis los cálculos obtindréis que el cociente incremental es -t -4t ·i -t + 4t ·i y si simplificáis veréis que el límite es 1 + 4i1 -4i = -15 17 - 8 17i. Y así para cada trayectoria hallamos un límite diferente.

Como puede verse, probar que una función compleja tiene derivada en un cierto dominio D es muy complicado, ya que se debe demostrar que el límite existe y es el mismo para todas las trayectorias de aproximación.

Hemos visto anteriormente que las funciones complejas pueden darse de la forma f(z) = u(x,y) + v(x,y)i, con u y v funciones de dos variables. En este caso, afortunadamente, existe una condición necesaria y suficiente para que la función f(z) tenga derivada en los puntos de un dominio D. Bastará comprobar esa condición, que es mucho más fácil que comprobar el límite para todas las trayectorias, para probar que la funcion es derivable en ese dominio.

La función f(z) = u(x,y) + v(x,y)i es derivable en el dominio D si se cumple que las derivadas parciales ux, u y, v x y vy son funciones continuas y, además, se cumplen las condiciones siguientes, llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann:

u x = v y, u y = -v x.

En tal caso:

f ' ( z ) = u x + i v x
ux = du(x,y) dx (se toma y como una constant y se deriva respecto a x,
uy = du(x,y) dy , vx = dv(x,y) dx , vy = du(x,y) dy , respectivamente.
Una demostración de este teorema se encuentra en el apartado 2.2 del libro Métodos Matemáticos, la referencia está en el apartadp "Bibliografía" de este módulo.

Ejemplo 17

  1. Veamos la resolución del apartado 1) del ejemplo anterior: f(z) = 2z + 3i se puede escribir f(x + yi) = 2(x + yi) + 3i = 2x + (2y + 3)i. Por tanto, u(x,y) = 2x y v(x,y) = 2y + 3. Ahora se buscan las derivadas parciales:

    ux = d(2x) dx = 2, u y = d(2x) dy = 0, v x = d(2y + 3) dx = 0, v y =d(2y + 3) dy = 2, que son todas continuas. Se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = v y = 2 y u y = -v x = 0 para todo x + yi de C. Por tanto, f(z) es derivable en todo .

  2. Dada la función f(x + yi) = x2 -y2 + 2xyi, escribimos u(x,y) = x2 -y2 y v(x,y) = 2xy. Calculamos ux = d(x2 -y2) dx = 2x, u y = d(x2 -y2) dy = -2y, v x = d(2xy) dx =2y, v y = d(2xy) dy = 2x, que son todas continuas. Se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = v y = 2x y u y = -2y = -v x para todo x + yi de . Por tanto, f(z) es derivable en todo .
  3. Dada la función f(x + yi) = x2 + y2 + 2xyi, escribimos u(x,y) = x2 + y2 y v(x,y) = 2xy. Calculamos ux = 2x, u y = 2y, v x = 2y, v y = 2x, son continuas. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = v y = 2x y uy = 2y = -v x = -2y se cumplen para todo x y para y = 0. Por tanto, f(z) es derivable para todo z = x número real de (la parte imaginaria, y, es cero).
  4. Con la Wiris.

Como en el caso real, se puede definir el concepto de función derivada de una función compleja f(z) (la denotaremos f'(z), d(f(z)) o df(z) dz ) y se puede demostrar que las propiedades de las funciones complejas derivadas, que proporcionan las llamadas reglas de derivación, son equivalentes a las de las funciones reales:

Las derivadas de algunas de las principales funciones complejas son las siguientes:

Actividad 12

  1. Hallad las funciones derivadas de las funciones f(z) = e-jz, g(z) = sin(2z + 3i), h(z) = e3z cos(3z), w = esin z. Conviene que lo hagáis manualmente y, después, que comprobéis que también es posible hacerlo con la calculadora Wiris.
  2. Buscad también las derivadas en el punto z0 = i de las funciones anteriores.
  3. Estudiad cuál sería el límite del cociente incremental de la función f(z) = z̄ para las trayectorias t3 y t4 de la figura 17